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为记录风景的拾荒者的行踪和皓首穷经的历程,每月选一张手机自拍的图和这一年在读的书,也陆续更新这一年看电影的流水账,即便是无聊的爪印也是留给未来自己的礼物......
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2021

在了解拉格朗日点之前,应该先对双星系统有所知晓。为了方便,把双星系统中大质量的称为恒星,质量M_1,比如太阳;小质量的称为行星,质量M_2,比如地球。
\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1\omega ^2 R_1\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_2\omega ^2 R_2
\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{R^3}
双星以相同角速度围绕质心(到旋转中心距离与质量反比)旋转,角速度由质量和距离决定。

在双星系统中引入第三个天体,为同前面统一,这里称卫星,由于m< <M_2,对双星系统运动影响忽略,就如人造地球卫星对地球和月亮的运行的影响可以忽略一样。在双星系统的二体引力场中,数学家欧拉和拉格朗给一共推算出了5个特殊的位置,能让第三个物体与另两个天体的相对位置保持不变,即在双星系统的非惯性系中,卫星的加速度为零。

对于L_1,原本与恒星距离越近角速度越大,但由于有行星的引力抵消一部分,使卫星以行星的角速度运行成为可能。r为卫星与行星距离。
\frac{GM_1m}{(R-r)^2}-\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r)
化简得\frac{M_1}{(R-r)^2}=\frac{M_2}{r^2}+\frac{M_1}{R^2}-\frac{M_1+M_2}{R^3}r

对于L_2,同理,原本与恒星距离越远角速度越小,但由于有行星的引力参与增强了一部分,使卫星以行星的角速度运行成为可能。r为卫星与行星距离。
\frac{GM_1m}{(R+r)^2}+\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r)
化简得\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\frac{M_1}{R^2}+\frac{M_1+M_2}{R^3}r

卫星在双星系统的离心加速度(非惯性系的离心力所对应的加速度)a_c=\omega ^2(r-\frac{M_2}{M_1+M_2}R)a_c=\frac{G(M_1+M_2)r-M_2R}{R^3}
对于在双星连线上的拉格朗日点,可以利用相对加速度为零求解(图)。a=-\frac{GM_1}{r^2}sgn(r)+\frac{GM_2}{(R-r)^2}sgn(R-r)+a_c

对于拉格朗日点的讨论,更喜欢L_{4,5}的讨论,简洁、巧妙。
\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1a_1,得a_1=\frac{GM_2}{R^2},同理得a_2=\frac{GM_1}{R^2},得a_{14}=\frac{GM_1}{R^2},a_{24}=\frac{GM_2}{R^2},根据图中几何关系\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}a_4不仅指向双星的质心,由a=\omega^2r,且满足角速度相同。

如果仅从中学生做题的角度看,只需要掌握在拉格朗日点的卫星和双星具有相同角速度即可。

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带电粒子(不计重力)从平行板电容器中间水平入射,电容器两板之间加方波电压(静态看,也可以暂时把电压考虑成电量,但电量的好处是调整板间距离电场力不变,加速度不变),且v_0=\frac{L}{T},即带电粒子在电容器内穿行的时间为一个周期T...

2021

以正负电压相等为例,电压图像可以转化为加速度时间图像,由于运行时间为一个周期,速度变化量相同,或者说用竖直方向动量定理(或从加速度时间图像的面积不变来考虑),出射粒子竖直速度为零,即粒子都水平射出。
2021

而对于粒子的运动轨迹,除了末速度水平以外,出射点位置关于\frac{T}{2}对称,且为线性。以粒子入射时刻\frac{T}{2}\pm ty=\frac{4aTt-aT^2}{4}

有趣的是,前面的结论在更一般一点的情况下也有成立,如果把正向电压U_1转化为a_1,反向电压U_2转化为a_2,半周期还是对等,运行时间还是一个周期,那射出速度v_y=(a_1-a_2)\frac{T}{2}y=\frac{a_1T^2-3a_2T^2+4(a_1+a_2)Tt}{8}

2021

从初设轨迹上能很直观看到,射出粒子速度相同,入射时间关于\frac{T}{2}对称时,也如前面,运行轨迹不同但出射点位置相同。
2021

对于正反电压相同的情况下,中间入射的粒子仍从中间射出,入射时间分别是\frac{1}{4}T\frac{3}{4}T,而对于对于正电压是反电压2倍的情况下,中间入射的粒子仍从中间射出,入射时间分别是\frac{5}{12}T\frac{7}{12}T。都是关于\frac{1}{2}T对称的。

真正促使我用整整一个晚自习来整理相关内容,还是那位喜欢打篮球且篮球打得很好的王同学问的一道看起来不难的问题,我一直怀疑是不是什么竞赛题目。主要的是对这个问题解决的过程中,复习了不少运动学知识,也遇到一些主动的问题。
题目的前提如前面:正反电压相同,从电容器中间入射,粒子在电容器内部运行的时间正好是一个周期,问板间距离是多少,能使入射的50%的粒子从电容器另一端射出。
要解决这个问题,先要思考如下几个小问题。
1、板间距离是多少,中间入射的粒子还是从电容器另一端的中间射出。\frac{1}{2}a{(\frac{T}{4}})^2*2*2

2021

2、板间距离是否有最小值,中间入射的粒子能从电容器另一端射出。
这个问题最先是溢成同学最先在课上提出,若云最先是直觉判断那两个三角形面积为1:2时,即向上和向下偏离入射方向相同的时候板间距离最下,单一同学给出很好的几何解释,崔刘同学也独立给出求解。现在看,可以通过一个二次函数与一个一次函数取大的交点来求解。
3、只要有粒子射出就好,板间距离最小值是多少,并没有入射粒子在中间这个前提(局限在半个周期内)。
2021

4、如果从时间分布上看,出射粒子偏离入射方向最近的50%,有一半对应的是\frac{1}{8}T\frac{3}{8}T,而这样考虑,首先能想到的错误是,粒子在竖直方向偏离的最大位置是在射出前,对应前面的二次件数与一次函数的表达,容易理解一点。
5、晚自习推荐给物竞的欣然同学,早上他一次性给出了很完备的解释,向同学最早有自己的正确的想法,引发了我更多的考虑,若云同学给出更多解释和正确和工整的计算,庆林同学也给出正确计算。当然这个问题的核心在竖直偏离的最大位置关于入射时间的关系是一个二次函数与一次函数的最大问题。
2021

6、可以尝试更一般的计算,比如反向电压是正向电压的一半,不考虑入射点位置是否在中间,保证所有粒子都射出,板间距离是多少。(编写这个题目时就觉得不容易,也正是对这个模型熟知,对前面的问题定势了不少,造成求解麻烦。)
7、如果在更一般情况下,出射粒子占入射粒子20%...

在整理这道题的过程中,打完羽毛球的家麟同学来办公室推荐一道物理题,然后一起作图休息,他傍晚要模考两科,下班路上,王老师嚷着说那本练习册特别,其中也有这道题目,哈哈哈

2021